[Mecánica Clásica I] Energía mecánica

En la última entrega de [Mecánica Clásica I] introdujimos un concepto nuevo, “remezclado” de otros anteriores y más fundamentales: el de trabajo mecánico. Como espero que recuerdes, se trataba básicamente de la fuerza que actuaba sobre un cuerpo a lo largo de un desplazamiento determinado, medida en la dirección del desplazamiento (o el desplazamiento en la dirección de la fuerza, que lo mismo da).

Antes de continuar el razonamiento con el que terminamos aquel artículo, como siempre, la solución al desafío que planteamos allí.

Solución al Desafío 6 – Ferrari Testarossa (II)

El desafío tenía dos partes, una más sencilla que la otra. La primera parte era cuantitativa y bastante simple: ¿qué trabajo realiza el motor del coche cuando éste acelera de 0 a 30 m/s en 5 segundos?

No tenemos más que recordar que el trabajo es el producto de la fuerza ejercida por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. En este caso, el motor empuja el coche hacia delante y éste se mueve hacia delante, con lo que ambos (fuerza y distancia) tienen exactamente la misma dirección.

El producto de fuerza por distancia resulta ser 9000 N por 75 m, es decir, 675 000 julios.

La segunda pregunta tenía algo más de interés. ¿Cuándo puede el motor de un coche realizar un trabajo negativo? El signo del trabajo depende, como vimos en el artículo anterior, de las direcciones relativas de fuerza y desplazamiento. Para que el trabajo sea negativo la fuerza debe tener una dirección en la “zona roja” del diagrama que dibujamos entonces:

En un coche, esto puede suceder cuando el motor ejerce una fuerza hacia atrás sobre el coche, opuesta a la dirección de movimiento. Hacemos esto cuando utilizamos el freno motor: si el coche va a una velocidad razonablemente grande y utilizamos una marcha más corta, aumentan las revoluciones por minuto del motor y el coche se va frenando.

También es posible, desde luego, utilizar otros métodos para realizar trabajo negativo sobre el coche. La más común de todas es emplear los frenos: las pastillas, discos o lo que sea dependiendo del coche ejercen una fuerza que se dirige hacia atrás en el movimiento del vehículo, con lo que está en la “zona roja” del dibujo de arriba y el resultado es un trabajo negativo.

Energía mecánica

Como dijimos en el anterior artículo, desde el principio se hizo evidente el hecho de que un sistema físico no podía realizar trabajo sobre algo indefinidamente: al empujar un objeto con una fuerza determinada a lo largo de una distancia, llegaba un momento en el que el sistema que empujaba “perdía fuelle” y no podía seguir haciéndolo. Era como si hubiera algo que se estuviera consumiendo o gastando en él, aunque ese algo no fuese nada tangible físicamente.

Un ejemplo algo tonto pero espero que ilustrativo de esto es el siguiente: imagina que tienes una enorme bola de bolos con una masa gigantesca, y de alguna manera –luego hablaremos de esto– has conseguido hacerla rodar por el suelo a una velocidad determinada. E imagina que frente a ese monstruo rodante pones una multitud de pequeñas canicas metálicas muy ligeras.

Según la bola de bolos va chocando con las bolitas, las manda rodando a gran velocidad una tras otra. Aunque sea a lo largo de una distancia muy pequeña, la bola grande está realizando trabajo sobre las pequeñas: las empuja con una fuerza a lo largo de una distancia determinada, antes de que se alejen de ella. Al cabo de un tiempo tendremos un centenar de bolitas rodando tras haber recibido el impacto de la grande, una multitud de bolitas aún en reposo porque la bola grande aún no ha llegado a ellas, y la enorme bola de bolos todavía rodando por el suelo, imparable.

¿Imparable? No, la verdad es que no.

Si nos fijamos bien, la bola grande ya no se mueve tan rápido como antes. El cambio tal vez sea ligero al principio, pero ya no es lo mismo. Desde luego, sigue impactando contra las pequeñas bolas y lanzándolas a gran velocidad, pero según pasa el tiempo se va moviendo cada vez más lentamente y, de hecho, cada impacto con una bola pequeña le imparte una velocidad ligeramente menor que la que recibió la bolita anterior.

Las bolitas pequeñas que salen disparadas, además, impactan sobre otras pequeñas bolitas que aún no han recibido el impacto de la grande, y a su vez realizan trabajo sobre ellas, con lo que al cabo de un tiempo tenemos todavía más bolitas rodando por el suelo. Si esperamos lo suficiente, podemos llegar a ver la gran bola de bolos ya detenida, y una miríada de pequeñas bolitas rodando por la habitación y chocando unas con otras.

Una vez detenida, la bola grande ya no puede realizar trabajo. Es como si se hubiera agotado su capacidad de realizarlo (no sé si por esa razón se acabó llamando “trabajo”, como si las cosas se “cansaran” tras hacerlo): al principio sí podía, pero poco a poco pudo hacer menos trabajo hasta no poder hacerlo. Sin embargo, las bolitas que recibieron los empujones de la grande sí pueden ahora realizar trabajo: al menos, hasta que ellas mismas también terminen parándose si imparten empujones a otras bolas cercanas. ¿Ves a dónde quiero ir a parar?

Lo que hemos definido al crear el concepto de trabajo es una especie de transferencia: sólo tiene sentido hablar de él cuando una cosa empuja a otra a lo largo de una distancia. Es, por lo tanto, una interacción entre objetos. Pero esa interacción tiene consecuencias sobre ambos, como hemos visto en el caso de las bolas — la bola grande, tras realizar trabajo sobre las otras, tiene menos capacidad de seguir realizando trabajo, mientras que las bolitas, tras esa misma interacción, tienen más capacidad de realizar trabajo (pues antes no tenían ninguna).

Por lo tanto, las bolas han intercambiado capacidad de realizar trabajo. Al principio, toda esa capacidad estaba en posesión de la bola grande, pero luego se ha repartido hasta encontrarse en multitud de bolitas. Pero, si sumásemos la capacidad de realizar trabajo de todas esas bolitas, seguro que nos daría lo mismo que tenía al principio la bola grande. De manera que podemos pensar en el trabajo durante la interacción, pero también podemos pensar en esa capacidad de realizar trabajo antes y después de las interacciones, pues es una magnitud interesante.

Esa capacidad de realizar trabajo es la que denominamos energía:

Energía es la capacidad de realizar trabajo de un sistema físico.

Se trata, como puedes ver, de una magnitud sutil. Por un lado, es algo “oculto”: sólo se manifiesta en interacciones con otros sistemas, cuando el que estamos estudiando realiza trabajo sobre ellos. Por otro, está íntimamente relacionada con el trabajo, aunque de una manera curiosa. Lo normal al definir cosas es definir primero la magnitud que algo poseee, y luego la transferencia de esa magnitud; por ejemplo, primero definimos el dinero, y luego las transferencias de dinero. Sin embargo, aquí ha sucedido justo al revés: primero descubrimos la utilidad del trabajo en sí mismo, y luego definimos la energía como lo que se transfiere al realizar trabajo. No voy, por cierto, a dedicar un epígrafe a las unidades de medida de la energía, puesto que al ser la capacidad de realizar trabajo se mide en lo mismo que él, julios (J).

Si te fijas, podríamos ahora dar la vuelta a la tortilla diciendo que el trabajo es un intercambio de energía entre sistemas. Estaríamos, naturalmente, haciendo trampa, pues no podemos definir una cosa en función de otra y luego la primera en función de la segunda, pero esa expresión del trabajo tal vez te ayude a visualizar lo que representa la energía, por sutil que sea.

Curiosamente, sin embargo, un par de siglos antes de que los pioneros de la Termodinámica definieran el concepto de trabajo –no digamos ya el de energía a partir de él–, algunos físicos habían empleado una magnitud que es sospechosamente parecida a algunas expresiones modernas de la energía, aunque ellos no sabían por qué.

Vis viva y energía cinética

En la segunda mitad del siglo XVII, el genio alemán Gottfried Leibniz estaba trabajando con sistemas físicos formados por varias masas, y se dio cuenta de algo peculiar. Cuando se medían las posiciones, velocidades y aceleraciones de las masas en un momento determinado, y luego se observaba su cambio a lo largo del tiempo para medirlas de nuevo en otro momento, en muchísimas ocasiones había una magnitud que se conservaba y el alemán no podía explicar por qué, ya que esa magnitud no representaba nada especial –que él supiera, claro–.

Había otra magnitud que se conservaba absolutamente siempre, y el alemán sí podía explicar por qué, ya que lo había hecho Sir Isaac Newton antes que él: la quantitas motus, la cantidad de movimiento newtoniana, de la que ya hemos hablado largo y tendido aquí. Sin embargo, como es relevante para nuestra discusión actual, permite que la mencione más en detalle: si Leibniz medía las masas y velocidades de todas las partículas y las multiplicaba para obtener la cantidad de movimiento de cada una, la cantidad de movimiento total del sistema se conservaba siempre. La razón era, por supuesto, el principio de acción y reacción de Newton, ya que dicha conservación no es más que la expresión de la conservación de m·v. Los cuerpos pueden intercambiar momento lineal, pero el momento total se conserva.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Leibniz, como tú a estas alturas, sabía todo esto y no le suponía ningún dolor de cabeza. El problema es que había otra magnitud que se conservaba constante casi siempre, una magnitud diferente de la cantidad de movimiento y que no tenía una razón de ser física ni representaba nada conocido hasta entonces. Esa magnitud era casi idéntica a la cantidad de movimiento: en vez de ser el producto de masa por velocidad de cada cuerpo, era el producto de masa por velocidad al cuadrado de cada cuerpo, es decir, m·v² en vez de m·v. Una diferencia aparentemente leve, pero conceptualmente enorme.

¿Qué era esta nueva magnitud? ¿Por qué la velocidad estaba al cuadrado en vez de tal cual, como en el momento lineal? ¿Por qué no se conservaba siempre? Al no conservarse siempre, se hacía evidente que no era una mera redundancia con la conservación de la cantidad de movimiento, luego ¿en qué principio físico se basaba si no era en ése? En resumen: ¿qué diablos estaba pasando?

Lo que estaba pasando, claro, era que faltaban un par de siglos para la llegada de Carnot, Coriolis y compañía, claro. Gottfried Leibniz denominó a esta nueva magnitud –masa por velocidad al cuadrado– en latín, al modo de la quantitas motus de Newton: su nombre fue vis viva –algo así como fuerza viva, aunque no es una fuerza–, y desde el principio supuso una gran polémica entre los físicos de la época. Algunos pensaban que no era más que una forma imperfecta de la otra, otros que no significaba nada y era una casualidad que a veces se conservara…

Sin embargo, la vis viva de Leibniz no era lo mismo que el momento lineal de Newton ni mucho menos: recuerda que la cantidad de movimiento tenía una dirección, puesto que era un vector. La vis viva, al tener una velocidad al cuadrado, no tenía una dirección, sino que era simplemente un número. Por eso era posible que una se conservara siempre –la cantidad de movimiento– y la otra sólo a veces –la vis viva–.

Al cabo del tiempo, los partidarios de la utilidad de la vis viva –muchos de ellos ingenieros– lograron demostrar que cuando no se conservaba ésta era porque las cosas se deformaban o se calentaban. Es más, era posible “disipar” parte de la vis viva de un sistema y a cambio obtener calor, por ejemplo, al disparar una bala de cañón. La bala salía del cañón con menor velocidad –y por tanto menor vis viva– de la que debería, pero a cambio la fricción había calentado tanto la bala como la boca del cañón. Cuando no se “perdía” vis viva de ninguna manera, porque no había deformaciones ni fricción, ésta se conservaba perfectamente.

Es más, en unas décadas se hizo evidente que al estudiar muchos sistemas físicos, como las bolas de billar que chocan entre sí en una mesa, utilizando únicamente la conservación de la cantidad de movimiento no era posible predecir lo que sucedería con ellas, mientras que al usar la vis viva de Leibniz además del momento (es decir, al suponer la conservación de ambas) sí se predecía estupendamente lo que sucedería, ya que en este caso apenas se disipaba vis viva en deformaciones o calor. Era un secreto a voces que la vis viva funcionaba.

Lo que nadie sabía era qué era ni por qué se conservaba.

Los termodinámicos del XIX volvieron a revisar el concepto de Leibniz y lo mejoraron: ellos sí podían conectar fenómenos térmicos con mecánicos, y disponían de herramientas y conceptos de los que el alemán carecía, ¡como el trabajo! Observa en qué se miden las dos:

• El trabajo se mide en julios. Un julio es el producto de una fuerza de un newton por una distancia de un metro. Una fuerza de un newton, por la segunda ley, es el producto de una masa de un kilo por una aceleración de un metro por segundo al cuadrado. Por tanto, podemos “descomponer” 1 J como 1 kg·m²/s².

• La vis viva se mide en unidades de masa por velocidad al cuadrado, es decir, en kg·m²/s².

¿Casualidad? No, claro que no. Observa que tenemos, por un lado, el trabajo: una magnitud que sólo tiene sentido cuando un sistema lo realiza sobre otro, y cuando eso sucede ese sistema “cede” algo al otro, de modo que ese algo es la energía. La energía del sistema, por tanto, permanece constante, porque lo que uno gane lo perderá el otro. Y, por otro lado, tenemos la vis viva, que se mantiene constante en un sistema casi siempre, es intercambiada por los cuerpos que chocan, y se mide exactamente en las mismas unidades que el trabajo. Blanco y en botella.

En 1807, el inglés Thomas Young empezó a llamar a la vis viva de Leibniz energía, identificándola con la capacidad de realizar trabajo. Un viejo amigo de este bloque, Gaspard-Gustave Corolis, y otro francés, el ingeniero Jean-Victor Poncelet, refinaron el concepto; ambos demostraron su relación con el trabajo mecánico hasta obtener la expresión moderna para la antes llamada vis viva, la “fuerza viva” del movimiento de Leibniz, que hoy llamamos energía cinética precisamente por ser la debida al movimiento de las cosas.

La expresión correcta deducida por Coriolis y Poncelet, que puedes deducir conmigo en el cuadro amarillo de abajo –pero no es necesario que sepas deducir para seguir el bloque con garantías, de ahí que esté en el cuadro–, era prácticamente igual que la obtenida por Leibniz: la energía cinética es un medio del producto de la masa por la velocidad al cuadrado, en vez del de Leibniz. La razón de que el alemán no se percatara de ese factor es que, al comparar el valor de la energía cinética en un sistema en un momento u otro, da igual multiplicarla por un número u otro, pues cincuenta seguirá siendo cincuenta, pero cien seguirá siendo cien; ambos se conservan. Hacía falta relacionarla con otra cosa para percatarse del factor que faltaba.

Energía cinética y trabajo

Aunque es posible demostrar la relación entre el trabajo mecánico y la energía cinética de un modo más riguroso, tú mismo puedes ver de dónde demonios sale la expresión de Coriolis y Poncelet con un ejemplo sencillo. Hagámoslo juntos pues.

Imagina un cuerpo de masa m que se encuentra en reposo. Sobre ese cuerpo ejercemos una fuerza F que lo mueve una distancia determinada d, es decir, realizamos un trabajo F·d. Si consideramos la energía como la capacidad de realizar trabajo, al final del proceso nosotros tendremos menos energía, y el cuerpo tendrá más — y la energía que tendrá el cuerpo será el trabajo que hemos realizado sobre él, porque ésa es precisamente la relación entre trabajo y energía.

Calculemos entonces el trabajo que hemos realizado sobre el cuerpo con un poco más de detalle. La fuerza que hemos realizado ha producido una aceleración sobre el objeto, y ambas están relacionadas mediante el segundo principio mediante . Por tanto, el cuerpo se moverá cada vez más deprisa. Puesto que empezó en reposo, al cabo del tiempo que haya durado nuestro empujón el cuerpo irá a una velocidad , pero como queremos todo en función de la velocidad, esto significa que y .

Lo mismo podemos hacer con la distancia d que recorre el cuerpo; esa distancia depende, naturalmente, de las magnitudes que hemos calculado hasta ahora. En un tiempo t, el cuerpo se habrá desplazado una distancia que será el producto de su velocidad media por el tiempo, es decir, . Pero ¿cuánto vale esa velocidad media?

Puesto que conocemos la velocidad inicial (0) y la velocidad final (v), y nuestra fuerza es siempre igual, con lo que la aceleración es uniforme, la velocidad media será simplemente la media de ambas velocidades, es decir, , con lo que . ¡Ahí es de donde viene el factor 1/2 de la expresión de Poncelet y Coriolis! La distancia recorrida es entonces

Ya tenemos todo en función de la velocidad. El trabajo será entonces , es decir, , que es la energía que ha recibido el cuerpo — su energía cinética, la forma moderna de la vis viva.

Que este razonamiento, sin embargo, no te confunda: el trabajo no es la energía cinética del cuerpo, el trabajo es el intercambio de energía. Lo que pasa es que, en este caso, la energía inicial del cuerpo era cero, con lo que ambos coinciden, como si me das diez euros y yo no tenía nada antes, el intercambio coincidirá con lo que yo tenga al final.

De manera que, tras el trabajo de los físicos e ingenieros del XIX, la cosa estaba bastante clara: el trabajo, además de ser visto como su definición fundamental, fuerza por distancia, podía contemplarse como el intercambio de una especie de “fluido invisible”, la energía, que coincidía en el caso de los cuerpos en movimiento con la vis viva leibniziana. Cuando un cuerpo tenía mucha energía cinética, tenía mucha capacidad de realizar trabajo, pues podía dar un buen empujón a otro objeto –como una de las bolitas de nuestro ejemplo– y, de ese modo, transferir parte de su energía o incluso toda.

Sin embargo, ¿por qué la cantidad de movimiento se conservaba absolutamente siempre pero la energía no? Casi todos los científicos de la época llegaron a la misma conclusión a la que tal vez hayas llegado tú ya mientras lees este artículo: la razón no era que la energía no se conservase, sino que sólo estábamos percatándonos de una parte de ella. Cuando la energía parecía disiparse no estaba sucediendo tal cosa: simplemente se había transformado en formas más sutiles que éramos incapaces de ver.

De hecho, desde mediados del XIX en adelante, una multitud de avances en Física han seguido un patrón muy similar: se estudia un sistema en el que parece incumplirse la conservación de la energía; se descubre que no estamos teniendo en cuenta toda la energía, sino que se nos escapaba un tipo nuevo; al incluir ese nuevo tipo de energía, todo vuelve a encajar a la perfección. Lavado, aclarado, vuelta a empezar.

De modo que, aunque en la siguiente entrada empezaremos a descubrir juntos estos nuevos tipos de energía, permite que enunciemos ya este principio fundamental de conservación, tan importante como el de conservación de la cantidad de movimiento que vimos antes. Sí, sólo hemos hablado de un tipo de energía, pero cuando añadamos otros la conclusión seguirá siendo la misma — por ahora, simplemente recuerda que “energía” no se restringe al concepto de la vis viva de Leibniz, sino que hay otras formas.

Principio de conservación de la energía

Creo que llegados a este punto la idea está clara y su origen también; además, se trata de algo tan común que seguro que lo has leído alguna vez. Aunque es posible enunciarlo de muchas maneras, intentaré dar una coherente con la terminología de este bloque:

La energía de un sistema permanece constante salvo que intercambie energía con el exterior.

Como puedes comprobar, es prácticamente un calco de la conservación de la cantidad de movimiento. Al igual que hicimos al hablar de aquélla, es posible extender la idea a sistemas más y más amplios: si mi sistema intercambia energía con el tuyo, consideremos el sistema formado por ambos, ¡ya no hay intercambio de energía con el exterior! Si nuestro nuevo gran sistema intercambia con otro, consideremos el formado por los dos, etc. Al final, llegaríamos al caso extremo: el propio Universo, formado por todo lo que existe.

El Universo no intercambia energía con ninguna otra cosa, o esa cosa formaría parte del Universo. Por lo tanto, podemos enunciar la forma absoluta del principio de conservación de la energía:

La energía del Universo permanece constante.

O la forma que siempre decía mi padre, históricamente la que tiene seguramente más arraigo aunque a mí no me gusta particularmente:

La energía no se crea ni se destruye, simplemente se transforma.

Todo muy bonito y muy intuitivo, hasta poético. Sin embargo, los físicos del XIX tenían un problema: en muchas situaciones no se conservaba la energía cinética. Bien, tal vez esto fuera porque estaban entrando en juego otros tipos de energía más sutiles. ¿Qué tipos de energía eran esos? ¿Dónde se “escondía” la energía que faltaba?

Energía cinética y temperatura

Desde el principio, muchos científicos sospecharon que en los casos en los que no se conservaba la energía cinética pero aparecía un aumento de temperatura la razón estaba en la naturaleza de la temperatura.

Si has leído el bloque de [Termodinámica I] sabes que Coriolis, Carnot y compañía no sólo estaban estudiando el trabajo y el movimiento, sino también el calor y la temperatura: y esta magnitud no era otra que la medida de la energía cinética media de las moléculas.

Por lo tanto, irónicamente, cuando se disipaba energía cinética en forma de calor, la nueva energía que estaba surgiendo a costa de la energía cinética era, otra vez, energía cinética, pero de las moléculas, por lo que era mucho más difícil de identificar de ese modo.

Puedes leer sobre la relación entre energía cinética y temperatura aquí.

Un ejemplo muy tonto que no involucra el calor en absoluto: tenemos un piano colgando de una cuerda a cierta altura sobre la calle. Un profesor de Física camina por la acera, y en un momento dado cortamos la cuerda y el piano cae sobre él, aplastándolo. El piano estaba parado, luego su energía cinética era nula. Pero luego ha empezado a moverse cada vez más deprisa, luego su energía cinética no se ha conservado… ¿de dónde ha salido la energía cinética que ha ganado? El estudio de este ejemplo tan simple nos llevará, en la siguiente entrega, a explorar otro tipo de energía tan interesante como la vis viva o incluso más.

Ideas clave

Para continuar con el siguiente artículo del bloque con garantías deben haberte quedado claros los siguientes conceptos:

• La energía de un sistema físico es su capacidad de realizar trabajo.

• La energía es intercambiada por los cuerpos cuando realizan trabajo unos sobre otros.

• Al ser el trabajo un intercambio de energía, ésta se mide en las mismas unidades que él, los julios (J).

• La energía cinética es la que tiene un cuerpo por el hecho de moverse a cierta velocidad, y su expresión es .

• La energía de un sistema permanece constante salvo que intercambie energía con el exterior.

• Existen otros tipos de energía además de la cinética, y casi siempre que la energía parece no conservarse es porque estamos ignorando alguno de esos tipos.

Hasta la próxima

Como hoy hemos visto, una vez más, una expresión matemática, espero que no te moleste hacer un par de pequeños problemas numéricos para comprender un hecho clave en la seguridad de la conducción de vehículos.

Desafío 7 – Energía cinética

Como hemos visto en el artículo, la energía cinética depende de la masa y la velocidad de un objeto, y es la capacidad de ese objeto de realizar trabajo a consecuencia de su velocidad.

Como primera pregunta, para abrir boca, te pido que calcules la energía cinética del coche del Desafío 6 (tienes los datos más arriba) una vez ha alcanzado su máxima velocidad.

Como segunda pregunta, ¿cuál será su energía cinética si alcanza el doble de velocidad?

Y como tercera pregunta, ¿a qué velocidad tendrá que ir para duplicar su energía cinética respecto al dato inicial de 30 m/s?