En el primer anexo a la miniserie sobre las ecuaciones de Maxwell hablamos acerca de la fuerza de Lorentz, la contrapartida en cierto sentido a las ecuaciones del buen James: el efecto de los campos sobre la materia en vez de al revés. Esa quinta ley enlaza las ecuaciones de Maxwell con la materia que vemos y espero que, tras leer sobre ella, valores aún más las cuatro de Maxwell. Sin embargo, como recordarás de las cuatro ecuaciones, incluso en ausencia de cargas eléctricas era posible que aparecieran los campos eléctrico y magnético a consecuencia uno del otro –si no lo recuerdas no te preocupes porque lo recordaré en un momento con más detalle–.
Maxwell podría haber considerado este hecho como una simple curiosidad de los campos eléctrico y magnético, pero reflexionando sobre ello se dio cuenta de dos cosas: por un lado, que ambos campos estaban entrelazados de un modo que los convertía en un auténtico campo electromagnético; por otro, de que las ecuaciones que regían su comportamiento y que el propio Maxwell había obtenido predecían que la interacción entre ambos campos generaría ondas en el espacio. Manipulando sus ecuaciones, el escocés obtuvo el tesoro de la entrada de hoy: la ecuación de onda electromagnética.
James Clerk Maxwell (1831-1879) (dominio público).
A diferencia del primer anexo, el de hoy tiene un único héroe: el propio James Clerk, que obtuvo uno de las predicciones teóricas más sorprendentes realizadas hasta entonces utilizando simplemente un papel, un lápiz y su cerebro. Mi objetivo hoy, por lo tanto, es intentar explicar cómo es posible predecir la existencia de ondas electromagnéticas a partir de las cuatro ecuaciones de Maxwell, y luego hablar sobre algunas de las consecuencias de este hecho. ¿Conseguiré hacerlo sin extenderme más de la cuenta? No, seguramente no.
Antes de empezar, por cierto, un par de avisos: en primer lugar, con el cálculo vectorial adecuado y la versión moderna de las ecuaciones (es decir, las ecuaciones à la Heaviside, porque el cálculo original de Maxwell es más engorroso) es posible obtener una ecuación de onda en un abrir y cerrar de ojos. Sin embargo, para ello hace falta conocer bien operadores como el rotacional o el laplaciano, saber reconocer una ecuación de onda y, en resumen, saber la suficiente Física como para no tener que estar leyendo esto. Además, a menudo se realizan esas manipulaciones matemáticas sin ahondar en el significado físico de lo que se está haciendo, con lo que tampoco se aprende tanto haciendo las operaciones sin más. De modo que no lo haremos así; realmente haremos algo parecido, pero con palabras y no tanto ecuaciones.
Eso sí, para poder hacerlo hay una contrapartida: voy a realizar simplificaciones que harían al gentil Maxwell mascullar obscenidades, y al bueno de Heaviside sollozar como un niño al que han quitado a su perrito. Si es necesario voy a trampear y obviar pegas que harán rechinar los dientes a quienes sabéis de esto — ¡ja! Si seguís leyendo, merecéis todo lo que os pase.
Finalmente, a pesar de que razonaremos con palabras y no espero que sepas más matemáticas que las que se aprenden en el colegio, este anexo es denso y requiere esfuerzo; realizaremos razonamientos lógicos –o eso espero–, e iremos poco a poco, pero es posible que este artículo requiera una segunda lectura antes de que lo asimiles del todo. Avisados estáis.
Dicho todo esto, partamos de nuestras ya familiares cuatro ecuaciones de Maxwell, que deberían empezar a parecerte como los muebles de la casa de tus padres:
Los términos de la derecha, como espero que recuerdes, son las fuentes de los campos eléctrico y magnético, y había básicamente dos tipos de fuentes, que alguna vez en estos artículos hemos llamado primarias y secundarias: las cargas eléctricas –por sí mismas o en movimiento– eran las causas primarias de los campos, y las variaciones en el tiempo de los propios campos eran las secundarias. De no ser por esas fuentes secundarias, los campos eléctrico y magnético serían muy aburridos, ya que sólo podrían existir alrededor de las cargas eléctricas.
Sin embargo, podemos eliminar toda la materia de las ecuaciones: ni átomos, ni protones, ni electrones, ni nada; en términos de nuestras ecuaciones, podemos suponer que no hay ni ρ ni J. Incluso así, suponiendo que estamos en el vacío, las cuatro ecuaciones siguen estando ahí, más concisas, pero no nulas:
Si te fijas, al eliminar las cargas las ecuaciones del campo eléctrico y el magnético se parecen mucho más que antes: uno estaba afectado por las cargas en sí mismas mientras que el otro estaba afectado por las cargas en movimiento, pero al eliminar todas las cargas, esa diferencia desaparece. De hecho, las dos primeras ecuaciones sí tienen la apariencia que cabría esperar en ausencia de cargas: no hay fuentes de los campos. Pero, como ya dijimos al hablar de las dos últimas, la variación en cualquiera de los dos campos produce un rotacional del otro campo incluso en ausencia de cargas y corrientes. Es en estas dos ecuaciones en las que vamos a fijarnos hoy.
El propio Maxwell hizo algo así, y le dio mucho que pensar el hecho de que, incluso eliminando las cargas y las corrientes, siguiera habiendo términos a la derecha de las ecuaciones. ¿Qué quería esto decir sobre cada campo? El problema para intentar desentrañar el misterio es que, como puedes ver, en cada una de las dos ecuaciones de abajo aparece un campo en función del otro. Para obtener conclusiones sobre alguno de los dos campos, lo ideal sería encontrar una ecuación que describiera sólo ese campo –por ejemplo el magnético–, de modo que tuviéramos información sobre él que no dependiera explícitamente del otro. Eso es precisamente lo que Maxwell se propuso hacer manipulando sus ecuaciones — es decir, pensando sobre el problema de una manera formal.
Nosotros haremos lo propio pero a nuestro estilo, claro; por suerte, Maxwell y Heaviside no van a ver esto.
Empecemos con un ejemplo concreto. Supongamos que, en un punto cualquiera del vacío, existe un campo magnético que está cambiando en el tiempo, por ejemplo, aumentando hacia la derecha cada vez más deprisa; evidentemente, para que esto pase algo tiene que haber creado ese campo magnético, y de eso hablaremos más adelante, pero por ahora eso no nos importa, mientras lo que quiera que haya creado el campo esté lejos de aquí para no perturbar nuestras bellas ecuaciones sin cargas; digamos que alguien está agitando un protón a un kilómetro de distancia, por ejemplo.
Lo importante es que tenemos un campo magnético dirigido hacia la derecha que es cada vez más grande y aumenta cada vez más rápido: hace falta que cambie en el tiempo, recuerda, o no conseguiremos un campo eléctrico como consecuencia. De acuerdo con la tercera ecuación de arriba, la ley de Faraday, alrededor del punto en cuestión aparecerá un campo eléctrico cuyo rotacional va en contra del campo magnético, de modo que el campo eléctrico será perpendicular a él y estará “girando” como un tornillo que se mueve hacia la izquierda, como ya indicamos al hablar de la ley de Faraday, de modo que permite que no me detenga mucho en esto:
Sí quiero hacer énfasis en algo que no era muy importante cuando hablamos sobre esto la primera vez, pero hoy es fundamental: el hecho de que el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético, no en el mismo sentido. En términos de las ecuaciones, simplemente quiero que tengas bien presente ese pedazo de signo negativo en la ley de Faraday, que es el responsable de que las dos flechas de la ecuación de arriba vayan en sentidos contrarios. Porque, como veremos, los campos eléctrico y magnético no se comportan igual respecto a esto, y ese diferente comportamiento es una de las razones de que estés leyendo estas líneas.
Además, puesto que hemos dicho que nuestro campo magnético no sólo está aumentando, sino que lo hace cada vez más rápido, el rotacional del campo eléctrico no sólo aparecerá “de la nada”, sino que será cada vez más grande. En fin, el caso es que con nuestro ejemplo hasta ahora hemos simplemente repasado la ley de Faraday. Pero, como hizo Maxwell, tenemos que ir más allá y enlazar esta ley con la siguiente, la de Ampère-Maxwell.
Recuerda que antes no existía campo eléctrico alguno: ha aparecido a consecuencia del campo magnético variable que nos hemos inventado. Ahora, sin embargo, sí hay un campo magnético con un rotacional que es cada vez mayor. Si antes no había campo eléctrico y ahora sí es que tenemos un campo eléctrico variable en el tiempo. Pero ya vimos, al hablar de la ley de Ampère-Maxwell, que un campo eléctrico que cambia en el tiempo origina inevitablemente un campo magnético a su alrededor que es perpendicular a su variación en el tiempo:
¡Pero aquí ya había un campo magnético! ¿Ahora tenemos dos? No, claro que no: tenemos un campo magnético total que es la suma del campo magnético adicional añadido al que ya existía. Lo esencial para comprender esto, el quid de la cuestión, es ver qué relación guardan el campo magnético “original” y el campo magnético “secundario”. Hay dos cosas importantísimas que hace falta entender aquí.
En primer lugar, con la ley de Faraday hemos obtenido un campo eléctrico perpendicular al campo magnético original; pero ahora, con la de Ampère-Maxwell, obtenemos un campo magnético perpendicular a ese campo eléctrico. ¡Por lo tanto, el campo magnético secundario debe ser de nuevo paralelo al campo magnético original! Dicho con otras palabras, en la ley de Faraday giramos B 90º para obtener la dirección de E, pero ahora en la de Ampére-Maxwell, que también tiene un rotacional, giramos E 90º para obtener la dirección de B, de modo que estamos como al principio.
Esto es lo suficientemente importante como para que lo exprese de una tercera manera, por si a alguien le ayuda a verlo: el campo magnético secundario es perpendicular a la perpendicular al campo magnético original, luego debe ser paralelo a él. Es como si hubiéramos hecho el “rotacional del rotacional” y nos hubiéramos quedado como estábamos antes… o casi.
Porque aquí viene la segunda cosa importantísima de la que hablaba: antes dijimos que algo esencial en la ley de Faraday es que había un signo menos a la derecha de la ecuación, es decir, que el rotacional del campo eléctrico no iba en el sentido de la variación del campo magnético, sino en contra. Pero en la ley de Ampére-Maxwell no hay ningún signo menos, y esa diferencia es de una importancia capital, tanta que voy a poner un signo más en la segunda aunque no haga falta:
Aquí tienes las imágenes que mostramos en ambas leyes, en las que puedes ver la diferencia de comportamiento entre ambos campos:
De modo que antes hablé mal: dije que habíamos hecho “el rotacional del rotacional”, pero en el primer caso no hicimos eso, sino “menos el rotacional”, con lo que lo que hicimos realmente al combinar ambas ecuaciones, partiendo del campo magnético original para obtener el secundario, fue “menos el rotacional del rotacional”. Por lo tanto, el campo magnético secundario vuelve a ser paralelo al campo original, pero va en sentido contrario.
Es decir, el campo magnético original aumentaba con el tiempo, y como consecuencia produjo un campo eléctrico que antes no existía; la aparición de ese campo eléctrico, a su vez, indujo la aparición de un nuevo campo magnético que se dirige justo en contra del campo magnético original. Por lo tanto, el campo magnético total ya no aumenta tan rápido como antes pues, por pequeño que sea este nuevo campo magnético secundario, compensará parte del campo principal, ya que va en sentido contrario a él.
Si hubiéramos hecho este “menos rotacional del rotacional” como Dios manda, hubiéramos obtenido la ecuación que resulta de combinar ambas para librarnos del campo eléctrico y fijarnos sólo en el magnético, que es algo así:
Ese operador nabla al cuadrado se llama laplaciano, en honor al francés Pierre-Simon de Laplace, viejo conocido nuestro, y tiene que ver con este “rotacional del rotacional”, pero aquí no voy a meterme en el berenjenal de explicar cálculo vectorial, así que dejémoslo así: me basta con que hayas comprendido la explicación cualitativa con palabras, si es que no te has dormido por el camino. No quería, sin embargo, dejar de poner la ecuación, para que veas que el razonamiento que hemos hecho nos permite obtener una ecuación nueva en la que sólo aparece el campo magnético, justo el objetivo de Maxwell.
Pero la cosa no acaba aquí.
Según el campo magnético original va perdiendo ímpetu, pasa algo curioso: el campo magnético aumenta cada vez más despacio, frenado poco a poco por el aumento constante del campo eléctrico. ¡Pero las ecuaciones de Maxwell no han dejado de estar ahí tras el primer tramo de nuestro razonamiento! Ahora empezará a suceder justo lo contrario.
El campo magnético neto empezará a disminuir, y cuando el campo magnético secundario supere al original, se invertirá el sentido del campo magnético total. El campo eléctrico ha ido aumentando cada vez más rápido y, como consecuencia de la ley de Ampére-Maxwell, también lo está haciendo el rotacional del campo magnético perpendicular a él; pero este campo magnético secundario producirá entonces un campo eléctrico perpendicular a él, pues el rotacional del campo eléctrico va en contra de la variación del campo magnético. Estamos haciendo “el rotacional de menos el rotacional”, pero llegamos a la misma conclusión inevitable de antes: el campo eléctrico inducido ahora será justo de sentido contrario al campo eléctrico anterior.
Matemáticamente, el resultado es idéntico a la ecuación que obtuvimos antes para el campo magnético, una vez más con el laplaciano:
Dicho en términos energéticos, una vez el campo eléctrico empieza a crecer a costa de “robar” parte de la energía con la que crecía el otro, disminuyendo así su ritmo de crecimiento, es él el que induce la aparición de un campo magnético cada vez mayor y, como consecuencia, pierde energía a su vez para “alimentar” al otro, de modo que crece menos de lo que debería porque están creciendo ambos a la vez. Pero este campo magnético no va en el sentido del campo original, sino que va en contra de él (en nuestro ejemplo, hacia la izquierda). Naturalmente, a continuación pasará lo mismo: el campo magnético originará uno eléctrico que irá en contra del anterior, y éste uno magnético que irá en contra del anterior, y así constantemente.
¿Qué le está sucediendo entonces a cada uno de los dos campos, sin fijarnos en el otro? Nuestro campo magnético empezó yendo hacia la derecha y era cada vez más grande. Sin embargo, pronto empezó a perder ímpetu, luego fue decreciendo y finalmente se dio la vuelta para empezar a ser cada vez más grande hacia la izquierda. Pero, ¡ah!, este campo invertido enseguida empezó a perder ímpetu también, pues creaba un campo en sentido contrario, para luego decrecer y luego revertir al campo original. Lo que está sucediendo es que el campo magnético crece, para de crecer, decrece, se invierte, crece, para de crecer… el campo magnético está oscilando.
Naturalmente, lo mismo le está pasando al campo eléctrico: crece, deja de crecer, decrece, se invierte, etc. Sólo hay dos diferencias entre ambos, y estoy convencido de que, si has soportado todo este rollo hasta aquí, las tienes muy claras: en primer lugar, ambos campos oscilantes son perpendiculares entre sí. En segundo lugar, ambos campos crecen y decrecen a la vez, ya que el aumento de uno produce el aumento del otro, pero ese segundo aumento “roba” parte de la energía que seguiría aumentando el primero, con lo que ambos van perdiendo ímpetu y finalmente dejan de crecer para disminuir de nuevo y, finalmente, invertirse.
Sin embargo, hay otro efecto más que no podemos olvidar: esto no se detiene en el punto en el que estamos mirando. El rotacional del campo eléctrico indica que aparece un campo alrededor del punto original, no sólo allí. Por lo tanto, el campo eléctrico que estamos induciendo no sólo aparecerá en este punto, sino en otros cercanos. Y ese campo eléctrico, al variar en el tiempo, producirá otro magnético alrededor de él, pero una vez más, no sólo en ese punto, sino en otros cercanos. De modo que esta especie de reacción en cadena que hemos creado con nuestro campo magnético original se va propagando por el espacio, no se queda donde la iniciamos.
De hecho, si piensas en términos energéticos, esto significa que la energía del campo magnético original se va desperdigando, pues parte de ella pasa al campo eléctrico de los puntos próximos al original, y parte de ésa a los puntos próximos al nuevo punto en forma de campo magnético… si no hiciéramos nada más, en el punto original la oscilación de los campos eléctrico y magnético se iría desvaneciendo poco a poco según los campos inducidos en puntos próximos se fueran llevando esa energía cual sanguijuelas electromagnéticas. La única manera de mantener la oscilación inicial es si quienquiera que estuviera creando el campo magnético sigue haciéndolo, proporcionándonos “energía extra” con la que mantener la oscilación.
Hagamos entonces, como hizo Maxwell, una reflexión sobre lo que está sucediendo aquí realmente. Tenemos algo que oscila en un vaivén constante, y la energía de esa oscilación se propaga a otros puntos cercanos, en los que aparece una oscilación similar, y así una y otra vez. Hay un transporte de energía oscilante a través del espacio.
Se trata de una onda.
Ojalá pudiera haber visto la cara de Maxwell cuando se dio cuenta. A él no le hizo falta pensar en la propagación de la energía oscilante de unos puntos a otros, desde luego, sino simplemente obtener cualquiera de las dos ecuaciones con el laplaciano que hemos visto antes. La razón es que esas ecuaciones, si has estudiado mecánica ondulatoria, gritan “¡Onda, ondaaaaaa!” como unas descosidas. Aquí tienes la ecuación de una onda cualquiera en el espacio en la que oscila lo que quiera que sea que está oscilando, que represento con la letra A:
Compárala con la que hemos obtenido, por ejemplo, para el campo eléctrico, e imagina que eres Maxwell:
Más claro el agua, ¿no?
Desde luego, si hay algo oscilando en forma de onda, la primera pregunta inmediata es “¿Qué demonios está oscilando aquí, si no hay materia por ninguna parte?”; una respuesta posterior a Maxwell podría ser que lo que está oscilando es el propio campo electromagnético. En la época de Maxwell, sin embargo, se pensaba que lo que estaba oscilando realmente era el éter luminífero, una sustancia redundantemente etérea que llenaba todo el espacio y cuyas perturbaciones eran las oscilaciones del campo eléctrico y el magnético. Pero, en lo que a nosotros respecta hoy, lo importante es la existencia de una onda de los campos eléctrico y magnético oscilantes que se alimentan mutuamente: una onda electromagnética.
Pero ésa no es la única pregunta, y estoy convencido de que Maxwell se hizo la segunda muy rápidamente y la contestó también bastante deprisa. es muy fácil producir campos eléctricos y magnéticos variables. Basta con cambiar la intensidad de corriente en un cable o agitar un imán. Si los campos magnéticos y eléctricos variables son tan comunes y fáciles de producir, ¿dónde están estas “ondas electromagnéticas” que deberían estar por todas partes?
Afortunadamente para Maxwell, esta pregunta se respondió casi a sí misma cuando el escocés determinó una cosa más sobre la oscilación del campo electromagnético. Si te fijas en la ecuación de onda general que hemos puesto arriba en la que oscila algo llamado A, la única diferencia con las ecuaciones de las ondas electromagnéticas es que en una aparece 
De modo que el producto 
Al hacerlo, Maxwell obtuvo el resultado: unos 300 000 kilómetros por segundo.
Curiosamente, no fue el primero en obtener ese número a partir de las constantes electromagnéticas. Antes que él lo habían hecho los alemanes Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch en 1855, que se habían dado cuenta –sin saber nada sobre ondas electromagnéticas ni nada parecido– de que 
Pero, para llegar allí, Maxwell había partido de algo muy distinto: de la ecuación de una onda. Las oscilaciones electromagnéticas producían una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s, y la luz era una onda que viajaba por el espacio a 300 000 km/s. El escocés llegó a la conclusión de que eso no podía ser una coincidencia: efectivamente, las ondas electromagnéticas sí estaban por todas partes, y sí que las veíamos, ¡literalmente! En palabras del propio Maxwell, que he citado otras veces pero no puedo resistirme a hacerlo aquí,
Esta coincidencia de resultados parece mostrar que la luz y el magnetismo son efectos de la misma sustancia, y que la luz es una perturbación electromagnética que se propaga a través del campo de acuerdo con las leyes del electromagnetismo.
En 1864, con un título absolutamente clarificador, Maxwell publicó Electromagnetic Theory of Light (Teoría electromagnética de la luz). Allí, el escocés detallaba su derivación de las ecuaciones de onda electromagnética y el cálculo de su velocidad de propagación. Nada volvería a ser lo mismo.
Naturalmente, hubo quien pensó que sí se trataba de una coincidencia y que Maxwell no sabía de lo que estaba hablando, pero al genio teórico de James Clerk se sumó el genio experimental del alemán Heinrich Rudolph Hertz, que en una serie de experimentos entre 1885 y 1889 demostró sin ningún género de dudas que la hipótesis electromagnética de la luz de Maxwell era cierta, y este segundo episodio, el experimental, fue objeto de un artículo entero que, si no has leído, complementaría bastante bien el que vas a terminar ahora.
Finalmente, no quiero olvidar algo que mencionamos al empezar nuestro ejemplo y que es importante: ¿quién estaba generando el campo magnético original del ejemplo? Dicho de otro modo, una vez aparece un campo magnético o un campo eléctrico variable, aparece una onda electromagnética de manera inevitable pero, ¿quién produce ese campo original?
Si recuerdas las cuatro ecuaciones de Maxwell, puedes contestar tú mismo a esa pregunta: las cargas eléctricas. Eso sí, no vale cualquier carga eléctrica, porque no queremos simplemente un campo eléctrico o uno magnético — hacen falta cargas eléctricas que hagan aumentar el campo magnético (o uno eléctrico, que lo mismo da) cada vez más deprisa. Podríamos lograr esto, por ejemplo, con una carga eléctrica que se acercase hacia el punto que estábamos estudiando cada vez más deprisa: con una carga eléctrica acelerada. Lo mismo daría, por supuesto, que el campo fuera disminuyendo cada vez más deprisa porque la carga se estuviera alejando cada vez más rápido, o que hubiera cualquier otro cambio en el campo eléctrico o magnético que fuera cada vez más o menos brusco.
Son las cargas eléctricas aceleradas, por lo tanto, quienes crean la perturbación original y de las que proviene la energía necesaria para ponerla en marcha, y son las cuatro ecuaciones de Maxwell las que determinan esa perturbación original a partir de las densidades de carga y corriente; y, una vez puesto en marcha el proceso, son las cuatro ecuaciones sin carga ni corrientes las que describen cómo se propaga la perturbación por el espacio a la velocidad de la luz — es decir, de las ondas electromagnéticas de James Clerk Maxwell.
Esto llevó a un auténtico problema en la física de finales del XIX, por supuesto: los electrones en los átomos son cargas eléctricas aceleradas, ya que están girando constantemente alrededor del núcleo. Las ecuaciones de Maxwell, por lo tanto, predicen con una exactitud y minuciosidad tremendas las características de la onda electromagnética emitida por esos electrones constantemente. Esa onda electromagnética se iría llevando la energía del electrón, que iría cayendo más y más hacia el núcleo hasta pegarse un mamporrazo contra él… pero claro, eso no sucede o no existirían los átomos estables que existen. La respuesta a este dilema fue una revolución como pocas en la historia de la Física: la cuántica.
Sin embargo, había otro problema aún más evidente: como hemos dicho, Maxwell obtuvo una velocidad de propagación para las ondas electromagnéticas de unos 300 000 km/s. Ahora bien, ¿300 000 km/s respecto a qué? Lo mismo pasa con la fuerza de Lorentz que estudiamos en el anexo anterior, en la que aparece la velocidad de una partícula cargada que sufre un campo magnético… ¿velocidad respecto a qué? Puedes imaginarte la respuesta según el escocés: respecto al éter. Al fin y al cabo, en su teoría electromagnética el éter era el medio que oscilaba, el éter era el medio que transmitía las fuerzas eléctricas y magnéticas… el éter era algo así como el océano en el que notábamos las olas y los movimientos de otros objetos inmersos en él.
Esto suponía un enorme problema expeirmental, y a él dedicaremos el tercer y último anexo a esta miniserie, ya que supuso, una vez más, una revolución como pocas, comparable sólo a la propia cuántica: la relatividad.
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